Les pavages hyperboliques de cette section sont-ils des rosaces?
nous avons une définition très floue d'une rosace (le mot vient de rose,
tout ce qui ressemble à une fleur, avec le coeur au centre et des pétales réguliers
vers l'extérieur, toutes ces figures qui sont jolies car elles présentent de la symétrie,
sont considérées comme des rosaces. Un gribouillage n'est pas une rosace!).

Ce type de dessin a été popularisé par les magnifiques oeuvres de M. Escher.
On appelle cela aussi des disques de Poincaré du nom de ce grand mathématicien français qui les étudia
(Henri Poincaré, 1854-1912, cousin du président Raymond Poincaré, était à l'avant-garde
sur de nombreux sujets comme par exemple la théorie du chaos qu'il étudia à travers le problème des 3 corps.
On dit de lui qu'il était un savant complet, maîtrisant l'ensemble de sa discipline et s'intéressant
aux autres sciences ainsi qu'à la philosophie, comme les anciens grecs).
Il donna des clefs de la compréhension des géométries non-euclidiennes, comme ces disques
où les droites sont des arcs de cercle qui coupent perpendiculairement la frontière,
où la distance n'est pas conservée et la somme des angles d'un triangle toujours inférieure à 180°.
Dans ce plan hyperbolique, le 5ème postulat d'Euclide n'est pas vérifié car,
par un point donné, il passe une infinité de droites qui ne coupent pas une droite donnée.
Cet article de J.-P. Delahaye permettra d'approfondir cette introduction à la géométrie hyperbolique.

Ce que l'on voit, sur les gravures d'Escher ou sur ces rosaces qui,
ceci dit en passant, ont été obtenues à l'aide d'un programme que nous avons récupéré sur internet
(programme sous licence libre), c'est un motif (ici un polygone)
qui est grand au centre et qui devient de plus en plus petit
au fur et à mesure que l'on s'approche de la périphérie.

Le programme, bien sûr, prend comme paramètre le nombre d'itérations que l'on souhaite,
sachant que de toute façon, généralement, à partir de 5 itérations, on ne distingue plus rien.
On choisit le nombre de côtés du motif polygonal et aussi
le nombre de motifs qui se rejoignent aux sommets.