Récréation
n°4:
Les dix-sept familles de pavages
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Présentation des
17 types de pavage
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Les pavages périodiques sont des éléments décoratifs où un même motif se répète à l'infini dans les deux directions d'un espace plan. Cette répétition est obtenue par le jeu de 2 séries de translations, mais aussi par des éléments de symétrie tels que: axes de symétrie, centres de symétrie ou centre de rotations... Quelques soient le pavage qu'on utilise, il appartient nécessairement à l'un des 17 groupes de pavages que nous allons maintenant passer en revue.
Dans la 1ère série
de pavages, nous trouvons les 4 types qui ne présentent aucun centre
de symétrie ou de rotation:
Le premier, noté p1, est celui qui n'a aucun élément
de symétrie. Il est obtenu en juxtaposant un motif quelconque dans
les 2 directions de l'espace.
Le second, noté pm comporte une série d'axes de symétrie
(m, pour miroir) parallèles et équidistants.
Le 3ème, noté pg, est constitué d'axe de symétrie-glissée
(symétrie axiale suivie d'une translation parallèle à
l'axe).
Le 4ème, noté cm, comporte alternativement des axes de symétrie
et des axes de symétrie-glissée..
Dans la 2ème série
de pavages, nous trouvons 5 types qui présentent des centres de
symétrie d'ordre 2, c'est-à-dire des centres de symétrie
centrale (rotation d'un demi-tour):
Le premier, noté p2, est celui qui n'a que des centres de symétrie
d'ordre 2.
Le second, noté pmm comporte deux série d'axes de symétrie
perpendiculaires, et à chaque intersection des axes, un centre
de symétrie d'ordre 2.
Le 3ème, noté pgg, est constitué d'axes de symétrie-glissée
perpendiculaires et des centre de symétrie d'ordre 2 entre les
axes.
Le 4ème et le 5ème, notés pmg et cmm, possèdent
des axes de symétrie et des axes de symétrie-glissée
perpendiculaires. Dans le 1er cas (pmg) les centres de symétrie
d'ordre 2 sont tous en dehors des axes de symétrie, tandis que
dans le second cas (cmm) il y en a sur les axes et d'autres entre les
axes.
Dans la 3ème série de pavages,
nous trouvons 3 types qui présentent des centres de symétrie
d'ordre 3 (rotations d'un tiers de tour):
Le premier, noté p3, est celui qui n'a que des centres de symétrie
d'ordre 3.
Le 2ème et le 3ème, notés p3m1 et p31m, possèdent
3 séries d'axes de symétrie qui forment des angles de 60°.
Dans le 1er cas (p3m1) les centres de symétrie d'ordre 3 sont tous
sur les axes de symétrie, tandis que dans le second cas (p31m)
il y en a sur les axes et d'autres entre les axes.
Dans la 4ème série
de pavages, nous trouvons 3 types qui présentent des centres de
symétrie d'ordre 4 (quarts de tour) et éventuellement des
axes de symétrie d'ordre inférieur (ordre 2 ici):
Le premier, noté p4, est celui qui n'a que des centres de symétrie
d'ordre 4.
Le 2ème , noté p4m, possèdent 4 séries d'axes
de symétrie qui forment des angles de 45°. Lorsque 4 axes de
symétrie se rejoignent il y a un centre d'ordre 4, tandis que lorsque
2 axes de symétrie se rejoignent il y a un centre d'ordre 2.
Le 3ème , noté p4g, possèdent 2 séries d'axes
de symétrie perpendiculaires et 2 séries d'axes de symétrie-glissée
perpendiculaires . A l'intersection des axes de symétrie il y a
les centres d'ordre 2, tandis que lorsque 2 axes de symétrie-glissée
se coupent il y a un centre d'ordre 4.
Dans la 5ème et dernière
série de pavages, nous trouvons 2 types qui présentent des
centres de symétrie d'ordre 6 (rotations d'un sixième de
tour):
Le premier, noté p6, est celui qui n'a que des centres de symétrie
d'ordre 6.
Le second, notés p6m, possèdent 6 séries d'axes de
symétrie qui forment des angles de 30°. Les centres de symétrie
d'ordre 6 se trouvent là où se coupent 6 axes de symétrie.
Pour ces 2 types, il y a aussi des centres d'ordre
3 et des centres d'ordre 2.
Voilà, il n'y a pas d'autre type
de pavages. Tous les pavages passés, présents et futurs
appartiennent à l'une ou à l'autre famille.
Ce n'est pas toujours facile de déterminer à quelle famille
appartient un pavage que l'on rencontre. Ce sera l'objet de
la suite de ce divertissement.
Tout d'abord, nous vous proposons de créer
vous-même des pavages pour visualiser l'effet des éléments
de symétrie qui différencient ces 17 types de pavages,
mais voici en résumé, les différents types de pavages,
selon les axes et les centres, tels qu'ils apparaissent dans le programme
de création :
>les axes de symétrie
sont en rouge, les axes de symétrie-glissée sont en pointillés
rouge,
> les centres de rotation sont en rose :
un carré pour les demi-tour, un triangle pour les tiers-de-tour,
un rond pour les quart-de-tour et une étoile à 6 branches
pour les sixième-de-tour.
