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Récréation n°3:

Les sept familles de frises

Présentation des 7 types de frise

Les frises sont des éléments décoratifs où un même motif se répète à l'infini par toute une série de glissement successifs (en mathématiques on parle de translations).

Des éléments de symétrie se rencontrent dans les motifs des frises: axes de symétrie horizontaux ou verticaux, centres de symétrie...

Si l'on classifie tous les types de frises qu'on peut fabriquer, selon leurs éléments de symétrie, on en trouve que sept! Ce sont ces sept types que nous allons décrire ici.

 

 

Tout d'abord la famille des frises simples, sans éléments de symétrie. Il n'y a qu'un seul motif qui se répète par translation, ce motif n'ayant aucune symétrie particulière. Nous appelons les frises de cette famille des frises F1. En voici deux exemples:
Frise de type F1
Frise de type F1
Le deuxième type de frises possède un axe de symétrie horizontal. Cet axe reproduit le motif élémentaire en le retournant autour de cet axe, puis par le jeu des translations. On appelle ces frises, des frises de type F1m. En voici deux exemples:
Frise de type F1m
Frise de type F1m
Lorsqu'il y a symétrie les motifs symétriques peuvent se chevaucher. Si on prend une photo comme motif c'est difficile à réaliser, mais si on prend un motif géométrique simple -une ligne- alors cela devient plus simple.
Voici un exemple de frise F1 et F1m avec un motif géométrique simple:
Frises de type F1 et F1m
Passons au troisième type de frise, le type F1g. Le motif élémentaire est translaté (glissé) puis retourné par une symétrie d'axe horizontal, tout cela en une fois: on parle de symétrie glissée.
Voici deux exemples de ce genre de frises:
Frises de type F1g
Le quatrième type de frises ne contient que des centres de symétrie.
Nous rappelons que si on fait subir à un motif élémentaire deux symétries centrales consécutives alors cela aboutit à une translation (propriété étudiée en classe de 4ème).
Donc il va y avoir un motif ayant un centre de symétrie qui se répète par translation. Tout simplement! Nous appelons ces frises des frises de type F2. En voici trois exemples:
Frises de type F2
Le dernier exemple montre à quel point les différences sont parfois subtiles entre deux types de frises. Voyez-vous les détails qui font que cette dernière frise n'est pas du type F1g comme on pourrait le penser?
Ceci arrive lorsque le motif élémentaire ne possède pas mais presque, un axe de symétrie vertical comme ce visage de lion.Le cinquième type de frises comporte un centre de symétrie et un axe de symétrie vertical qui répètent le motif élémentaire par groupe de quatre.
C'est comme si on avait une frise F2 (quatrième type) mais avec un motif ayant un centre de symétrie. Voici deux exemples de ces frises qu'on dit de type Fm2:
Frises de type Fm2
Le sixième type de frises ne comporte que des axes de symétrie verticaux.
Un motif élémentaire qui subit deux symétries d'axes parallèles finit par être translaté (c'est une autre propriété vue en 4ème). Ainsi, nous avons une frise ordinaire F1 où le motif élémentaire possède un axe de symétrie vertical (perpendiculaire à la direction de la translation). Ce type de frise est noté Fmm. En voici deux exemples:
Frises de type Fmm
Le dernier type de frises comporte des axes de symétries verticaux et un axe de symétrie horizontal.
C'est, si on veut, le type précédent auquel on applique la symétrie des frises F1m. Nous notons ces frises F4, en voici deux exemples:
Frises de type F4
Voilà, il n'y a pas d'autre type de frises. Toutes les frises passées, présentes et futures appartiennent à l'une ou à l'autre famille. Ce n'est pas toujours facile de déterminer à quelle famille appartient une frise que l'on rencontre. C'est l'objet de la suite de ce divertissement. Pour commencer il vous faut essayer de créer vous-même des frises avec des figures pré-enregistrées créées avec GeoGebra pour visualiser l'effet des éléments de symétrie qui différencient ces 7 types de frises. Vous pouvez aussi utiliser l'applet "symétrie" qui, par défaut, propose de créer une frise de type f1. Voir le blog du site pour une documentation détaillée sur ce programme et pour un album photos sur les frises.
Pour résumer, voici les 7 familles de frises selon leurs éléments de symétrie, tels qu'ils apparaissent dans le programme: