Récréation
n°3:
Les sept familles de frises
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Présentation des
7 types de frise
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Les frises sont des éléments décoratifs où un même motif se répète à l'infini par toute une série de glissement successifs (en mathématiques on parle de translations).
Des éléments de symétrie se rencontrent dans les motifs des frises: axes de symétrie horizontaux ou verticaux, centres de symétrie...
Si l'on classifie tous les types de frises qu'on peut fabriquer, selon leurs éléments de symétrie, on en trouve que sept! Ce sont ces sept types que nous allons décrire ici.
Tout d'abord la
famille des frises simples, sans éléments de symétrie.
Il n'y a qu'un seul motif qui se répète par translation,
ce motif n'ayant aucune symétrie particulière. Nous appelons
les frises de cette famille des frises F1. En voici deux exemples:
Le deuxième type de frises possède un axe de symétrie
horizontal. Cet axe reproduit le motif élémentaire en le
retournant autour de cet axe, puis par le jeu des translations. On appelle
ces frises, des frises de type F1m. En voici deux exemples:
Lorsqu'il y a symétrie les motifs symétriques peuvent se
chevaucher. Si on prend une photo comme motif c'est difficile à
réaliser, mais si on prend un motif géométrique simple
-une ligne- alors cela devient plus simple.
Voici un exemple de frise F1 et F1m avec un motif géométrique
simple:
Passons au troisième type de frise, le type F1g. Le motif élémentaire
est translaté (glissé) puis retourné par une symétrie
d'axe horizontal, tout cela en une fois: on parle de symétrie glissée.
Voici deux exemples de ce genre de frises:
Le quatrième type de frises ne contient que des centres de symétrie.
Nous rappelons que si on fait subir à un motif élémentaire
deux symétries centrales consécutives alors cela aboutit
à une translation (propriété étudiée
en classe de 4ème).
Donc il va y avoir un motif ayant un centre de symétrie qui se
répète par translation. Tout simplement! Nous appelons ces
frises des frises de type F2. En voici trois exemples:
Le dernier exemple montre à quel point les différences sont
parfois subtiles entre deux types de frises. Voyez-vous les détails
qui font que cette dernière frise n'est pas du type F1g comme on
pourrait le penser?
Ceci arrive lorsque le motif élémentaire ne possède
pas mais presque, un axe de symétrie vertical comme ce visage de
lion.Le cinquième type de frises comporte
un centre de symétrie et un axe de symétrie vertical qui
répètent le motif élémentaire par groupe de
quatre.
C'est comme si on avait une frise F2 (quatrième type) mais avec
un motif ayant un centre de symétrie. Voici deux exemples de ces
frises qu'on dit de type Fm2:
Le sixième type de frises ne comporte que des axes de symétrie
verticaux.
Un motif élémentaire qui subit deux symétries d'axes
parallèles finit par être translaté (c'est une autre
propriété vue en 4ème). Ainsi, nous avons une frise
ordinaire F1 où le motif élémentaire possède
un axe de symétrie vertical (perpendiculaire à la direction
de la translation). Ce type de frise est noté Fmm. En voici deux
exemples:
Le dernier type de frises comporte des axes de symétries verticaux
et un axe de symétrie horizontal.
C'est, si on veut, le type précédent auquel on applique
la symétrie des frises F1m. Nous notons ces frises F4, en voici
deux exemples:
Voilà, il n'y a pas d'autre type de frises. Toutes les frises passées,
présentes et futures appartiennent à l'une ou à l'autre
famille. Ce n'est pas toujours facile de déterminer à quelle
famille appartient une frise que l'on rencontre. C'est l'objet de la suite
de ce divertissement. Pour commencer il vous faut essayer de créer
vous-même des frises avec des figures pré-enregistrées
créées avec GeoGebra pour visualiser l'effet des éléments
de symétrie qui différencient ces 7 types de frises. Vous
pouvez aussi utiliser l'applet "symétrie"
qui, par défaut, propose de créer une frise de type f1.
Voir le blog du site
pour une documentation détaillée sur ce programme et pour
un album photos sur les frises.
Pour résumer, voici les 7 familles de frises selon leurs éléments
de symétrie, tels qu'ils apparaissent dans le programme:
