Les carrés imparfaits sont des carrés coloriés par de petits carrés de telle façon que jamais, 4 coins d'un sous-carré soient de la même couleur. Ce type de coloriage n'existe que pour les carrés de côté inférieur ou égal à 14. Mais on en trouve pour toutes les autres dimensions de carré. Le jeu commence avec un carré de côté 5, mais on peut augmenter cette dimension dans le premier sélecteur. On peut utiliser les trois aides qui sont proposées ou les désactiver (voir plus loin leur utilité). Une fois qu'on a effectué ces premiers choix, on clique sur "COMMENCER" afin d'obtenir la grille à compléter.
Pour compléter un carré sans faire d'erreur, il faut choisir la couleur des cases indéterminées. En cliquant dans une case indéterminée, une première couleur est proposée; on obtient la seconde en cliquant une deuxième fois et on peut continuer à cliquer une troisième fois pour revenir au point de départ (case indéterminée).
Les aides peuvent être décochées avant de jouer. On peut en garder une, deux ou les trois ensemble, il faut savoir que les garder diminue le gain de points ajouté au score lorsque le carré est correctement complété. En effet, le gain est calculé à l'aide de la formule suivante, dans laquelle la "difficulté du jeu" est une estimation qui tient compte du nombre de trous restants avant l'hypothèse et de la taille des sous-carrés à compléter jusqu'au blocage. Ainsi, en choisissant les trois aides, on obtient un gain égal à la somme de trois paramètres (difficulté, côté, total); en les enlevant toutes, on multiplie cette somme par 5. Le choix des aides ne peut se faire qu'au début : si vous voulez changer ce choix, recharger le jeu (le score est alors remis à zéro).
GAIN = (difficulté du jeu + côté du carré + nombre total de grilles complétées)×(5 - nombre d'aides conservées)
L'aide appelée "Erreurs" permet de détecter une erreur, au moment où elle est flagrante (mais pas forcément facile à voir), c'est-à-dire au moment où on colorie un 4ème coin de carré de la même couleur que les trois autres, formant un "carré parfait". Si on a sélectionné cette aide, les quatre carrés incriminés se mettent à clignoter et on peut alors effacer le ou les dernier(s) coup(s) (avec la touche "RETOUR"), dans l'ordre inverse de leur apparition. Comme cette aide est plus puissante que les autres, elle compte pour 2 dans l'évaluation du "nombre d'aides conservées". Cette aide est sélectionnée par défaut.
L'aide appelée "Mauvais coups" permet d'avoir l'information qu'un coup, même s'il ne crée pas de carré parfait, se révèlera un mauvais coup par la suite (chaque grille n'ayant qu'une seule solution, il n'y a qu'une seule couleur possible par case). Cette aide n'apporte pas la possibilité de corriger l'erreur (le bouton "retour" n'apparait que si l'aide "Erreurs" a été selectionnée et si une erreur a été commise), seule l'information est donnée au joueur. On peut considérer qu'il s'agit d'un mode d'apprentissage. Cette aide est désactivée par défaut.
L'aide appelée "Trous Restants" permet de savoir le nombre de cases indéterminées qu'il reste à compléter lorsqu'on atteint le point de blocage. Il s'agit d'une aide pour débutant, désactivée par défaut, qui permet d'éviter au joueur de faire des hypothèses trop tôt : tant que le nombre de cases indéterminées de la grille est supérieur à cette indication, il existe quelque part au moins un sous-carré dont 3 coins sont de la même couleur qu'il est plus prudent de chercher.
Un chronomètre a été ajouté au jeu. Il permet de mesurer la durée de résolution pour chaque grille. Pour les joueurs expérimentés, c'est-à-dire ceux qui ont désactivé les deux aides pour débutants ("trous restants" et "Mauvais coups"), la durée de résolution est enregistrée. Pendant une cession de jeu, chaque chrono peut alors être modifié si une durée de résolution inférieure à celle enregistrée est obtenue. Lorsqu'on rejoue une grille déjà résolue, au début, le meilleur score est indiqué au bas de la grille (unité : la milliseconde). Ces informations sont également disponibles sur la console. Si l'aide "Erreurs" est restée activée, à chaque pression sur la touche "RETOUR" la durée de résolution prend une pénalité de 1 minute. Dans le calcul du score, le paramètre "nombre total de grilles complétées" ne concerne que les grilles résolues en mode expérimenté.
Pour obtenir une nouvelle grille dans la même dimension, on peut cliquer sur un des boutons en forme de flèche situés de part et d'autre du bouton "COMMENCER/CONTINUER" : la grille suivante est obtenue avec la flèche qui pointe vers la droite, la grille précédente avec l'autre flèche. Les jeux sont rangés par ordre de difficulté croissante, leur ordre est immuable (afin de comparer les performances).
Pour obtenir une nouvelle grille dans une autre dimension, on doit sélectionner la "dimension du carré" correspondante. Les sélecteurs d'indication de la "difficulté" et du "numéro du jeu" n'ont pas de fonction de sélection (on ne peut pas choisir la difficulté d'un jeu de cette façon) mais sont juste là pour indiquer ce que l'on peut trouver dans cette dimension (en cliquant sur un sélecteur, son contenu se dévoile) et, également, le numéro et la difficulté du jeu en cours. A titre d'indication, voici la répartition des grilles selon leur côté et leur difficulté.
Par défaut les couleurs sont le orange et le bleu clair, mais on peut facilement obtenir un nouveau choix de couleur en sélectionnant la "couleur" qui remplacera le orange. Selon le navigateur, il faut valider ce choix avec le bouton "ok" de la fenêtre de sélection ou bien avec la touche "Entrée" du clavier. L'autre couleur est calculée de manière à obtenir un écart maximum de contraste entre les deux. Par exemple, si les composantes (Rouge,Vert,Bleu) de la couleur 1 (remplace le orange) sont (120,200,50) alors celles de la couleur 2 (remplace le bleu clair) seront (135,55,50), soit vert et violet, la somme de chacune des deux mêmes composantes étant égale à 255 (le maximum).
La dimension réelle des carrés peut être trop grande ou trop petite, selon l'écran de la machine utilisée et la "dimension du carré" (dimension ici signifiant le côté de la grille carrée, c'est-à-dire le nombre de petits carrés qui en constitue le bord). Généralement, on règlera cela avec la molette de la souris, après avoir appuyé sur la touche "Ctrl". Ce réglage n'étant pas réalisé par l'application mais directement par le système d'exploitation de la machine, il est possible que la procédure soit différente (par exemple, utiliser deux doigts sur un écran tactile).
Ce jeu est une invention personnelle, suite à un article publié en 2018 dans "La Recherche" qui proposait le "défi de l'été" (la chronique mathématiques de Roger Mansuy, La Recherche, juillet-aout 2018, n°537-538, pp.109-110.). Ce défi proposait de "colorier, avec deux couleurs différentes, le plus grand quadrillage carré sans avoir quatre points de la même couleur délimitant un carré". L'idée était de déterminer la taille maximale du désordre (désordre : pas de carré parfait) car un théorème de mathématiques affirme qu'elle existe sans la donner. Je trouvais alors un carré de côté 13 qui n'avait pas de sous-carrés parfaits et gagnait le défi (ce n'était pas la dimension ultime qui est 14 mais personne n'avait proposé de grille de côté 14). En poursuivant la reflexion sur ce type d'objet, j'en suis venu à déterminer des carrés incomplets n'ayant qu'une seule solution imparfaite que je vous propose ici de manipuler.
Un article mathématique à consulter sur ce thème donne, entre autres résultats et méthodes, le nombre des solutions : Bascher Roland et Eliahou Shalom, Extremal binary matrices without constant 2-squares, The Electronic Journal of Combinatorics, Open Journal Systems, vol.1(1), pp.77-100, 2010. Dans cet article, les auteurs propose une grille à compléter pour illustrer leur algorithme (voir ci-dessous à gauche); c'est cette grille qui déclencha l'idée de ce jeu. Vous remarquerez que cette grille se résout sans avoir à émettre d'hypothèse, contrairement aux grilles du jeu. Si vous voulez avoir une description plus détaillée de cette histoire, lisez mon article "L'ordre nécessaire" sur mathadomicile.fr.
Je tiens à remercier Jeanne, Bruno, Laurence et Nicolas qui se sont prêtés au jeu de résoudre mes grilles alors que mes programmes n'étaient pas encore au point (le souci majeur était d'arriver à produire des grilles qui n'avaient qu'une seule solution correcte) et qu'il fallait travailler sur des versions papier de ces grilles (ci-dessous au centre, la version papier de la grille des auteurs; à droite, la version finale). Le défaut de ce jeu en version papier est qu'il est très difficile de s'autocorriger. Le nom du jeu (carrés imparfaits) a été proposé à cette occasion par Bruno, ce qui a évité le japonicisme peu élégant de binoku... Merci aussi à Revathi et à Pierre qui m'ont suggéré d'améliorer l'information donnée au joueur, notamment pour signaler quelle erreur était commise. Une version de ce jeu spécialement étudiée pour les téléphones est en cours de développement par Bruno, accessible sur le site "jeuagogo.fr".
